【數學之美】你知道一根繩子有多長嗎？
2020-12-04 10:04:22
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如果給你一根繩子，問你這根繩子有多長，你會怎么做？
這似乎是個再簡單不過的問題。把繩子拉直，用尺子從一頭量到另一頭。
好了，結果已經出來了。
但量出來的數值真的就是這根繩子的長度嗎？答案遠沒有這么簡單。
英國廣播公司BBC在2009年專門拍攝了一部紀錄片《一根繩子有多長？》，主持人艾倫戴維斯在五金店買了一根繩子，五金店老板為他量了一下繩子的長度，32厘米。很顯然這不是艾倫想要的數字。于是，艾倫開始了測量一根繩子真正長度的神奇旅程。
尺子量出來的數值不準，所有人都能意識到。刻度精度、印刷誤差等都會影響到測量的準確性。只是我們生活中不需要那么高的精度，所以往往會忽視掉這些誤差。
如果讓你說出如何測量這根繩子最精準長度的方法，你會想到什么？
你知道光的速度嗎？
答案是299,792,458米/秒。
也就是說1/299792458秒光行走的距離正好是1米。因此，理論上用光來測這根繩子的長度，應該是個好辦法。
艾倫戴維斯在數學家馬科斯桑托伊的帶領下來到了國家物理研究所，在專業人員的操作下，通過全自動激光跟蹤器測得這根繩子有319毫米又442微米，即 319.442毫米。
好的，我們以光速來衡量繩子的距離，得到了想要的數字，真是非常skr了，旅程到此結束。
但數學家馬科斯并沒有滿意，他認為這仍然不是想要的結果。
馬科斯舉了一個例子，在地圖上測量一條海岸線的長度，如果用尺子測量，距離是一個數字。如果用繩子測量，這個距離會變長。
因為尺子是直的，不能彎曲，用來測量地圖的海岸線則將會忽略海岸線的曲折，繩子相對尺子而言可以彎曲，但是仍然不夠精確。每種測量工具都能有效放大海岸線的各個細節，這會呈現出更多的迂回曲折，測量工具揭示的細節越多，長度也就越長。
馬科斯認為繩子的情況也是一樣的，一根繩子，并不是平滑的繩子，它上面有許多褶皺。越仔細觀察，褶皺就越多。 因此，這根繩子到底多長，取決于測量工具的準確程度。
馬科斯帶艾倫來到了沙灘上，并在沙灘上畫起了三角形。
等等，有沒有覺得很眼熟？
沒錯，就是我們上次在《分形——發現隱藏的維度》一文中提到的科克曲線。
還記得那篇文章中如何介紹科克曲線的嗎？由于科克曲線每一個邊都是自身形狀的無數次重復，因此科克曲線的周長是無限長的。
如果這根繩子也能夠無限放大，繩子上面出現的褶皺就會無限多。因此得出，繩子的長度是無限長的。
所以說，這根繩子是無限長的？
當看到這里時，艾倫和我們的腦子一樣，已經全部都是問號。
當然這只是數學的假設。截至目前，這根繩子的長度仍然是319.442毫米。現在的測量單位是毫米，如果能夠用盡可能小的測量單位去測量這根繩子，會不會測量出新的長度。用什么測量單位，微米，還是納米？
最終，艾倫決定用“原子”來測量這根繩子。
艾倫找到了物理老師貝基蘭頓，希望能測量出這根繩子有多少個原子長。
沒想到的是，當你想用原子的精細度去測量這根繩子的時候，一切都變得不一樣了。
首先，在量子世界中，每個粒子可以同時出現在兩個甚至多個不同的地方。雖然聽上去有些荒唐，但這就是量子力學世界中真實存在的。
這也就意味著，繩子中的粒子位置是不確定的，所以你永遠不知道繩子兩頭的端點到底在哪里。
為了證實粒子可以同時出現在兩個地方，艾倫來到了倫敦帝國理工學院，再次用圍繞在我們身邊的東西“光”說明這一現象。
當激光穿過一個有兩條細縫的板子時，會在墻上投影出條紋一樣的光帶。因為光是一種波，光波通過兩條細縫時，會變成兩組光波，光波會彼此干擾，相互疊加的部分產生明亮的光帶，相互抵消的部分只有陰影，這叫干涉圖像。這個圖像想要說明的是，光會在同一時間穿過兩個細縫。
如果將光換成單個的粒子，每次只發射一粒光子穿過有兩條細縫的板子，神奇的事情發生了。當把多次發射后墻上投影出來的圖案放在一起時，同樣出了條紋一樣的光帶。
如果要出現這樣條紋一樣的光帶，光子必須同時通過兩條裂縫才行才能產生干涉圖像，也就是說一粒光子同時出現在了兩個地方。
回到測量繩子的問題上，對于宏觀世界的物體，位置是有意義的。但是在量子世界，繩子中的粒子會同時在好幾個地方，也就是說繩子同時會有很多不同的長度。
又或者說，繩子實際上是不具有長度的，直到通過某種方式去測量時，長度才被創造出來了。從某種程度上來說，除非我們觀察這根繩子，否則這根繩子甚至是不存在的，是觀察的行為讓事物變得真實。
到此，艾倫已經被徹底搞糊涂了。
難道319.442毫米就是這根繩子所能測量出來的最高精度？
顯然不是，雖然量子力學中有不確定的特性，但仍然是測量長度的最好方法。
通過計算光波行進的路程，就可以把繩子長度的精確到百萬分之一米。如果使用將光波的波長壓縮到一半，測量的精度就可以提升一倍。只要把足夠多的能量放進光子，提升波長的頻率，幾乎可以實現繩子長度的任意精度。
但是毫無疑問，這個精度的盡頭是哪里，總會一個問題在等著我們。
光子上下擺動的速度越快，光子就要得到越多的能量。但是愛因斯坦告訴我們，能量產生重力，重力是有極限的，一旦超過極限，或許會產生黑洞。
當艾倫聽到測量繩子長度會產生黑洞這個結論的時候，內心已經崩潰了。
到此，艾倫繩子長度測量的探索之旅就結束了。
數學家告訴我們，這根繩子的長度是無限長的，物理學家告訴我們，這根繩子同時有多個長度，或者沒有長度。
或許我們一開始以為，這趟旅程只不過是找一些科學家，將這根繩子放在各種先進的測量儀器上，只需片刻，就能測量出不同精度的長度，并不非花費太長的時間和太多的精力。
但事實上，測量繩子長度這件小事，想要追求極致的精確計算卻極其困難，甚至做不到。所有的度量單位，不過只是近似于真正的標準值而已。
我們追求極致的過程，其實已經成為了一個哲學旅程。
至于我們最初的問題，這根繩子有多長？好像已經不那么重要了。
五金店老板量出的長度，32厘米，不就很好嘛。
如果你想要了解到關于這趟繩子長度探索之旅更多的細節，歡迎點擊下面的鏈接，觀看這部紀錄片。
視頻鏈接：一根繩子有多長？
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